初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》优秀教学设计

2021-06-16 教学设计

　　教学目标

　　(一)教学知识点

　　1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.

　　2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.

　　4.理解锐角三角函数的意义.

　　(二)能力训练要求

　　1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

　　2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.

　　(三)情感与价值观要求

　　1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.

　　2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯

　　教学重点

　　1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.

　　2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.

　　3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.

　　教学难点

　　用函数的观点理解正弦、余弦和正切.

　　教学方法

　　探索——交流法.

　　教具准备

　　多媒体演示.

　　教学过程

　　Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课

　　[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.

　　现在我们提出两个问题：

　　[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?

　　[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?

　　Ⅱ.讲授新课

　　1.正弦、余弦及三角函数的定义

　　多媒体演示如下内容：

　　想一想：如图

　　(1)直角三角形AB1C1

　　和直角三角形AB2C2有

　　什么关系?

　　(2) 有什么

　　关系? 呢?

　　(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?

　　(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?

　　请同学们讨论后回答.

　　[生]∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，

　　∴A1C1//A2C2.

　　∴Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2.

　　(相似三角形对应边成比例).

　　由于A2是梯子A1B上的任意—点，所以，如果改变A2在梯子A1B上的位置，上述结论仍成立.

　　由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角

　　的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.

　　[生]如果改变梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.

　　[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?

　　[生]函数关系.

　　[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的'基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)

　　在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即

　　sinA＝

　　∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即

　　cosA=

　　锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数(trigonometricfunction).

　　[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函数”呢?

　　[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时.∠A的对边与斜边的比值，∠A的邻边与斜边的比值，∠A的对边与邻边的比值也都唯一确定.在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量.当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.

　　2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系

　　[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA、cosA有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?

　　[生]如图所示，AB＝A1B1，

　　在Rt△ABC中，sinA= ，在

　　Rt△A1B1C中，sinA1= .

　　∵ ＜ ,

　　即sinA<sinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，

　　所以梯子的倾斜程度与sinA有关系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.

　　[生]同样道理cosA= cosA1＝ ,

　　∵AB=A1B1 ＞即cosA>cosA1，

　　所以梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡.

　　[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.

　　3.例题讲解

　　多媒体演示.

　　[例1]如图，在Rt△ABC

　　中，∠B=90°，AC＝

　　200.sinA＝0.6，求BC

　　的长.

　　分析：sinA不是“sin”与“A”的乘积，sinA表示∠A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA＝0.6，＝0.6.

　　解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200.

　　sinA＝0.6，即= 0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6=120.

　　思考：(1)cosA＝?

　　(2)sinC＝？ cosC＝?

　　(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?

　　解：根据勾股定理，得

　　AB＝ =160.

　　在Rt△ABC中，CB＝90°.

　　cosA＝＝0.8，

　　sinC= =0.8，

　　cosC＝＝0.6，

　　由上面的计算可知

　　sinA＝cosC＝O.6，

　　cosA＝sinC＝0.8.

　　因为∠A+∠C＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”.

　　[例2]做一做：

　　如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.

　　分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA，cos

　　(90°-A)=sinA.

　　解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝，cosA＝ ,

　　∴AB= ,

　　sinB＝

　　根据勾股定理，得

　　BC2＝AB2-AC2＝( )2-102=

　　∴BC＝ .

　　∴cosB＝ ,[

　　sinA＝

　　可以得出同例1一样的结论.

　　∵∠A+∠B=90°，

　　∴sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90°-A)；

　　cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即cosA＝sin(90°-A).

　　Ⅲ.随堂练习

　　多媒体演示

　　1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.

　　分析：要求sinB，cosB，tanB，先要构造∠B所在的直角三角形.根据等腰三角形“三

　　线合一”的性质，可过A作AD⊥BC，D为垂足.

　　解：过A作AD⊥BC，D为垂足.

　　∴AB=AC，∴BD=DC= BC=3.

　　在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，

　　∴AD＝4.

　　sinB＝ cosB＝ ,

　　tanB= .

　　2.在△ABC中，∠ C＝90°，sinA＝，BC=20，求△ABC的周长和面积.

　　解：sinA= ，∵sinA= ，BC＝20，

　　∴AB＝＝＝25.

　　在Rt△BC中，AC＝ =15，

　　∴ABC的周长＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，

　　△ABC的面积： AC×BC= ×15×20＝150

　　3.(2003年陕西)(补充练习)

　　在△ABC中.∠C=90°，若tanA= ，

　　则sinA= .

　　解：如图，tanA= = .

　　设BC=x，AC=2x，根据勾股定理，得

　　AB= .

　　∴sinA= .

　　Ⅳ.课时小结

　　本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量.当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.

　　Ⅴ.课后作业

　　习题1、2第1、2、3、4题

　　Ⅵ.活动与探究

　　已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝ABBD.(用正弦、余弦函数的定义证明)

　　[过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt△ABC中，CD⊥AB.所以图中含有三个直角三角形.例如∠B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及线段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定义得cosB＝，cosB= .

　　[结果]在Rt△ABC中，cosB＝

　　又∵CD⊥AB.

　　∴在Rt△CDB中，cosB＝

　　∴ = BC2＝ABBD.

　　板书设计

　　§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起(二)

　　1.正弦、余弦的定义在Kt△ABC中，如果锐角A确定.

　　sinA＝ [

　　cosA＝

　　2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?

　　sinA的值越大，梯子越陡

　　cosA的值越小，梯子越陡