《圆的公切线》教案

2021-06-30 教案

　　教学目标：

　　(1)理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法;

　　(2)培养学生的归纳、总结能力;

　　(3)通过两圆外公切线长的求法向学生渗透转化思想.

　　教学重点：

　　理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法.

　　教学难点：

　　两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆.

　　教学活动设计

　　(一)实际问题(引入)

　　很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象.(这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践)

　　（二）两圆的公切线概念

　　1、概念：

　　教师引导学生自学.给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：

　　和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．

　　(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线.

　　(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线.

　　(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.

　　2、理解概念：

　　(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?

　　(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?

　　(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点;切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点.

　　(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量.

　　(三)两圆的位置与公切线条数的关系

　　组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力.添写教材P143练习第2题表.

　　(四)应用、反思、总结

　　例1、已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B.求：公切线的长AB.

　　分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质.(组织学生分析，教师点拨，规范步骤)

　　解：连结O1A、O2B，作O1AAB，O2BAB.

　　过 O1作O1CO2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形，于是有

　　O1CC O2，O1C= AB，O1A=CB.

　　在Rt△O2CO1和.

　　O1O2=13，O2C= O2B- O1A=5

　　AB= O1C= (cm).

　　反思：(1)转化思想，构造三角形;(2)初步掌握添加辅助线的方法.

　　例2*、如图，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长.

　　分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解.证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90(或证得有两角的.和是90)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，因为AB是两圆的公切线，所以CPB=ABP，CPA=BAP.因为BAP+CPA+CPB+ABP=180，所以2CPA+2CPB=180，所以CPA+CPB=90，即APB=90，故△APB是直角三角形，此题得解.

　　解：过点P作两圆的公切线CD

　　∵ AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点

　　CPA=BAPCPB=ABP

　　又∵BAP+CPA+CPB+ABP=180

　　2CPA+2CPB=180

　　CPA+CPB=90即APB=90

　　在 Rt△APB中，AB2=AP2+BP2

　　说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系.

　　(五)巩固练习

　　1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )

　　(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)以上答案都不对.

　　此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)