一年级上册数学经典例题讲解

2024-09-28

一年级上册数学经典例题讲解

　　经典例题讲解：一年级上册

　　计数枚举法经典例题讲解

　　解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。

　　用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。

　　例11 运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停在院子里。第一次陆续开走的全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。到第几次时汽车全部开走？最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）

　　解：按题意画出表3-4列举各次哪些车开走。

　　表3-4

　　从表3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车。按题意，第四次8号、24号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。

　　答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。

　　小学数学经典诗题讲解百例之九十一

　　（依据：《孙子问题》；编诗：陈钢）有物不知数，让我数一数；三个三个数，剩二好孤独；五五数剩三，七七又二单；此物多少数，谁能说清楚？

　　【解说】这是依据《孙子算经》上有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”）编写而成的。原来的题目是：

　　“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”

　　用通俗的话来说，题目的意思就是

　　有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少个？

　　（注：诗题及题目原文都无“至少”二字，但“孙子问题”都是些求“最少”或者求“至少”的问题，否则就会有无数多个答案。所以，解释题目意思时，在语句中加上了“至少”二字。）

　　《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是：

　　“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。”“答曰：二十三。”

　　这些话是什么意思呢？用通俗的话来说，就是：

　　先求被3除余2，并能同时被5、7整除的数，这样的数最小是140；

　　再求被5除余3，并能同时被3、7整除的数，这样的数最小是63；

　　然后求被7除余2，并能同时被3、5整除的数，这样的数最小是30。

　　于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。

　　再用求得的“233”减去或者加上3、5、7的最小公倍数“105”的倍数，就得到许许多多这样的数：

　　｛23，128，233，338，443，…｝

　　从而可知，23、128、233、338、443、…都是这一道题目的解，而其中最小的解是23。

　　答：这些物品的数目至少是23个。

　　需要指出的是，在《孙子算经》上，有一段关于这类题目的解题“术文”：

　　“凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五，一百六以上以一百五减之，即得。”

　　（注：古称“106”和“105”为“一百六”和“一百五”，而称“160”和“150”为“一百六十”和“一百五十”。所以，这里的“一百六”和“一百五”分别指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）

　　明代著名的大数学家程大位，在他所著的《算法统宗》中，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀，名曰《孙子歌》：

　　三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知。

　　歌中的“廿”，读音与“念”音相同。“廿”即二十的意思。

　　这一歌诀的“诗意”，我们可以不去理会，只需注意它的数字就行了。歌诀中的每一句话，都指出了一步解题方法：

　　“三（3）人同行七十（70）稀”——是说除以3所得的余数，要用“70”去乘它；

　　“五（5）树梅花廿一（21）枝”——是说除以5所得的余数，要用“21”去乘它；

　　“七（7）子团圆正半月（15）”——“半月”是一个月30天的一半，即15日，这是说，除以 7所得的余数，要用“ 15”去乘它；

　　“除百零五（105）便得知”——这是说要把上面所乘得的三个数相加，加得的和如果大于105，便应减去105，或者减去105的倍数。这也就是《孙子算经》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）减之”。这样得出的差，便是所要求的这个最小的未知数了。

　　运用这一歌诀来解答这道“物不知数”问题，便是

　　2×70+3×21+2×15=140+63+30=233 233-105-105=23（答略）

　　不过，用这种方法解这类问题，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除数的题目，遇到用其他数作除数的算题，它就行不通了。这一点必须引起我们的注意。

　　这种“物不知数（孙子）问题”，在我国古代流传的算法名称很多。宋朝周宓称它为“鬼谷算”、“隔墙算”（之所以称“鬼谷算”，大概是因为它与传说中的哲学家鬼谷子有某些关系）；13世纪的大数学家杨辉则称它为“剪管术”。南宋数学家秦九韶将它推广，并又发现一种算法，称它为“大衍求一术”。它被传入西方后，外国人又称它为“中国剩余定理”。但是大多数人较为通俗的叫法，还是称它为“韩信点兵”（也有称“秦王暗点兵”的）。传说我国汉朝的大将韩信，计算士兵数目的方法十分特别，他不是五个五个或十个十个地数，也不要士兵“一、二、三、四、五……”地报数，而是叫他们排起队伍，依次在他面前列队行进：先是一排三人，再是一排五人，然后是一排七人。他只将三次所余的士兵记下来，就知道了士兵的总数。他旁边的人见他并没有数士兵的数目，有时甚至还闭上了眼睛，而居然知道士兵的总数，都感到十分惊奇。所以，后人就把这种算法称为“韩信点兵”了。“韩信点兵问题”在数学史上，是个极有名的问题。西洋人直到18世纪才被瑞士数学家欧拉发现这一问题的解题规律。只拿我国南宋秦九韶的研究与他们相比，他们也晚了五百年左右的时间。

　　【思考、练习】

　　1．有一道用诗的形式表达的谜题（陈邦新整理）是：

　　花生若干粒，三数即余一；五数无剩余，七数余三粒。

　　你能猜出得数是多少粒吗？（答案：10粒）

　　2．有一道民间诗题如下（陈邦新整理）：

　　秦皇暗点卫队兵，三三数来余二名；五数七数都余一，卫队共是多少人？

　　请仿照上面的方法解出这道题目。（答案：71人）

　　3．有总数不满五十人的一队士兵，“一至三报数”，最后一人报“一”；“一至五报数”，最后一人报“二”；“一至七报数”，最后一人也报“二”。这队士兵有多少人？（答案：37人）

　　4．用三轮小货车运一批粮食，每次运7袋，最后余下2

　　袋；每次运8袋，最后余下3袋；每次运9袋，最后余下1袋。这批粮食至少有多少袋？（答案：163袋）

　　5．有一个数，被5除余2，被7除余6，被11除余9。那么这个数最小是多少？（答案：97）

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　　小学数学经典诗题讲解百例之三十一

　　（中国民间诗题）李白沽酒探亲朋，路途遥远有四程；一程酒量添一倍，却被书童喝六升；行到亲朋家里面，半点全无空酒瓶。借问高明能算士，瓶内原有多少升？

　　【解说】这也是根据李白喜爱饮酒的特点而编出来的一道著名的民间数诗算题，实际上也是不一定真有此事的。题中的“沽”，读音与“姑”字相同。“沽”是“买”的意思，“沽酒”就是“买酒”。“程”指道路的段落，“四程”即四段路。“书童”指旧社会侍候文人墨客的小仆人。题目的意思可以是

　　李白叫书童带着盛有一定酒量的酒瓶，随他一同到遥远的亲朋好友家中去做客。这里到朋友家有四段路程，每经过一段路程，李白都要将瓶中的酒量添加1倍。但是，调皮的小书童在每次买酒以后，都要偷偷地将瓶内的酒喝掉6升。这样，他们边走边买并边被书童偷喝，走到朋友家的时候，酒瓶里一点酒也没有了。问：他们出发的时候，原来酒瓶里的酒有多少升？

　　我们可以用方程来解答这道题目，因为这样比较简便。

　　设原来瓶内的酒量为x升，第一程酒量添一倍以后，就有酒2x升；“却被书童喝六升”后，酒量就只有（2x-6）升了。因“路途遥远有四程”，走到朋友家时，“半点全无空酒瓶”，故可布列方程为

　　｛[（2x-6）×2-6]×2-6｝×2-6=0

　　解这一方程，得X=5.625，即酒瓶内原来有酒5.625升。

　　（答略）

　　【思考、练习】

　　1. 一位老师的年龄加上1以后乘以3，其积的一半加上40，再用所得和的一半的一半，减去25，得数便是0。这位老师现年多少岁？（答案：39岁）

　　2．甲乙丙三人各有 2分的硬币若干枚。开始，甲把自己 2分的硬币拿出一部分分给乙丙，使乙丙的硬币数各增加1倍；然后，乙也照此办理，使甲丙的2分硬币数各增加1倍；接着，丙也照此办理。使甲乙的2分硬币各增加1倍。最后，三人都用去2分硬币8枚，这时三人2分的硬币数便都是O枚。问：甲乙丙三人原来各有2分硬币多少枚？（答案：甲13枚，乙7枚，丙4枚）

　　小学数学经典诗题讲解百例之八十一

　　（依据：日本算题；编诗：铁夫）大杯小杯一行行，杯杯都来盛砂糖；白糖四百二十克，五大三小恰装完；若用五小加三大，三百八十可盛光。大小杯子各一个，各可容纳多少糖？

　　【解说】这是依据日本一道较为著名的算题编写而成的。这道题目原来是日本大阪女子学院附属中学的一道初中招生试题，题目翻译过来可以是

　　有大杯和小杯若干个，它们的容量大小分别相同。现在往5个大杯和3个小杯里放满砂糖，总共可放420克。又往3个大杯和5个小杯里放满砂糖，总共可放380克。问：一个大杯和一个小杯，分别可以放砂糖多少克？

　　由题意可知，两个大杯比两个小杯，要多装砂糖

　　420-380=40（克）

　　那么，一个大杯比一个小杯，多装的砂糖就是

　　409÷2=20（克）

　　因为“五大和三小”共能装420克，所以，从420克中减去5个20克，得到的差就相当于（5+3）个小杯的容量。故一个小杯的容量就是

　　（420-20×5）÷（5+3）=320÷8=40（克）

　　一个大杯子的容量就是40+20=60（克）

　　答：大杯可容纳60克，小杯可容纳40克。