线段的垂直平分线学案教学设计

2024-11-20

　　作为一位杰出的老师，通常会被要求编写教学设计，借助教学设计可使学生在单位时间内能够学到更多的知识。那么优秀的教学设计是什么样的呢？以下是小编为大家整理的线段的垂直平分线学案教学设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。

　　线段的垂直平分线学案教学设计 1

　　1、教材分析

　　（1）知识结构

　　（2）重点、难点分析

　　本节内容的重点是线段垂直平分线定理及其逆定理。定理反映了线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的依据；逆定理反映了线段垂直平分线的判定，是证明某点在某条直线上及一条直线是已知线段的垂直平分线的依据。

　　本节内容的难点是定理及逆定理的关系。垂直平分线定理和其逆定理，题设与结论正好相反。学生在应用它们的时候，容易混淆，帮助学生认识定理及其逆定理的区别，这是本节的难点。

　　2、教法建议

　　本节课教学模式主要采用“学生主体性学习”的教学模式。提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳。教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人。具体说明如下：

　　（1）参与探索发现，领略知识形成过程

　　学生前面，学习过线段垂直平分线的概念，这样由复习概念入手，顺其自然提出问题：在垂直平分线上任取一点P，它到线段两端的'距离有何关系？学生会很容易得出“相等”。然后学生完成证明，找一名学生的证明过程，进行投影总结。最后，由学生将上述问题，用文字的形式进行归纳，即得线段垂直平分线定理。这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，激发了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会。

　　（2）采用“类比”的学习方法，获取逆定理

　　线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单，学生学习一般没有什么困难，这一节的难点仍然的定理及逆定理的关系，为了很好的突破这一难点，教学时采用与角的平分线的性质定理和逆定理对照，类比的方法进行教学，使学生进一步认识这两个定理的区别和联系。

　　（3）通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力。

　　线段的垂直平分线学案教学设计 2

　　教学目的：

　　1、使学生理解线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何问题。

　　2、了解线段垂直平分线的轨迹问题。

　　3、结合教学内容培养学生的动作思维、形象思维和抽象思维能力。

　　教学重点：

　　线段的垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。

　　教学难点：

　　线段的垂直平分线性质定理及逆定理的关系。

　　教学关键：

　　1、垂直平分线上所有的点和线段两端点的距离相等。

　　2、到线段两端点的距离相等的所有点都在这条线段的垂直平分线上。

　　教具：投影仪及投影胶片。

　　教学过程：

　　一、提问

　　1、角平分线的性质定理及逆定理是什么？

　　2、怎样做一条线段的垂直平分线？

　　二、新课

　　1、请同学们在课堂练习本上做线段AB的垂直平分线EF（请一名同学在黑板上做）。

　　2、在EF上任取一点P，连结PA、PB量出PA=？，PB=？引导学生观察这两个值有什么关系？

　　通过学生的观察、分析得出结果PA=PB，再取一点P试一试仍然有PA=PB，引导学生猜想EF上的所有点和点A、点B的距离都相等，再请同学把这一结论叙述成命题（用幻灯展示）。

　　定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。

　　这个命题，是我们通过作图、观察、猜想得到的，还得在理论上加以证明是真命题才能做为定理。

　　例题：

　　已知：如图，直线EF⊥AB，垂足为C，且AC=CB，点P在EF上

　　求证：PA=PB

　　如何证明PA=PB学生分析得出只要证RTΔPCA≌RTΔPCB

　　答：证明：∵PC⊥AB（已知）

　　∴∠PCA=∠PCB（垂直的定义）

　　在ΔPCA和ΔPCB中

　　∴ΔPCA≌ΔPCB（SAS）

　　即：PA=PB（全等三角形的对应边相等）。

　　反过来，如果PA=PB，P1A=P1B，点P，P1在什么线上？

　　过P，P1做直线EF交AB于C，可证明ΔPAP1≌PBP1（SSS）

　　∴EF是等腰三角型ΔPAB的顶角平分线

　　∴EF是AB的垂直平分线（等腰三角形三线合一性质）

　　∴P，P1在AB的垂直平分线上，于是得出上述定理的逆定理（启发学生叙述）（用幻灯展示）。

　　逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

　　根据上述定理和逆定理可以知道：直线MN可以看作和两点A、B的距离相等的所有点的集合。

　　线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

　　三、举例（用幻灯展示）

　　例：已知，如图ΔABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，求证：PA=PB=PC。

　　证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上

　　∴PA=PB

　　同理PB=PC

　　∴PA=PB=PC

　　由例题PA=PC知点P在AC的垂直平分线上，所以三角形三边的垂直平分线交于一点P，这点到三个顶点的距离相等。

　　四、小结

　　正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论，加强证明前的分析，找出证明的途径。定理的作用是可证明两条线段相等或点在线段的垂直平分线上。

　　《教案设计说明》

　　线段的垂直平分线的`性质定理及逆定理，都是几何中的重要定理，也是一条重要轨迹。在几何证明、计算、作图中都有重要应用。我讲授这节课是线段垂直平分线的第一节课，主要完成定理的引出、证明和初步的运用。

　　在设计教案时，我结合教材内容，对如何导入新课，引出定理以及证明进行了探索。在导入新课这一环节上我先让学生做一条线段AB的垂直平分线EF，在EF上取一点P，让学生量出PA、PB的长度，引导学生观察、讨论每个人量得的这两个长度之间有什么关系：得到什么结论？学生回答：PA=PB。然后再让学生取一点试一试，这两个长度也相等，由此引导学生猜想到线段垂直平分线的性质定理。在这一过程中让学生主动积极的参与到教学中来，使学生通过作图、观察、量一量再得出结论。从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程。在教学时，引导学生分析性质定理的题设与结论，画图写出已知、求证，通过分析由学生得出证明性质定理的方法，这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程，只有学生动脑思考了，才能真正理解线段垂直平分线的性质定理，以及证明方法。

　　在此基础上再提出如果有两点到线段的两端点的距离相等，这样的点应在什么样的直线上？由条件得出这样的点在线段的垂直平分线上，从而引出性质定理的逆定理，由上述两个定理使学生再进一步知道线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离的所有点的集合。这样可以帮助学生认识理论来源于实践又服务于实践的道理，也能提高他们学习的积极性，加深对所学知识的理解。在讲解例题时引导学生用所学的线段垂直平分线的性质定理以及逆定理来证，避免用三角形全等来证。最后总结点P是三角形三边垂直平分线的交点，这个点到三个顶点的距离相等。为了使学生当堂掌握两个定理的灵活运用，让学生做87页的两个练习，以达到巩固知识的目的。

　　线段的垂直平分线学案教学设计 3

　　教学目标：

　　1、要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题。

　　2、能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。

　　3、通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。

　　教学重点：

　　线段垂直平分线性质定理及其逆定理。

　　教学难点：

　　线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。

　　教学过程：

　　我们曾利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离睛等，你能证明这一结论吗？

　　一、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

　　1、让学生把准备好的方方正正的纸拿出来，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和E’B、FB和F’B的关系。

　　2、让学生说出他们观察猜测的结果是什么，肯定他们的发现，引导学生思考：这样一个结论是比较直观和明显的，我们可以说出两组边分别是相等的.，但是，我们可以用观察说服别人吗？

　　3、给学生留出时间和空间思考如何把猜想变成事实。学生可以讨论交流不同的方法。提示学生在证明之前，要把文字语言变成数学语言，根据图形写出已知和求证。

　　定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

　　已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。

　　求证：PA=PB。

　　证明：∵MN⊥AB，

　　∴∠PCA=∠PCB=90°

　　∵AC=BC，PC=PC

　　∴△PCA≌△PCB（SAS）

　　∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）

　　想一想，你能写出上面这个定理的逆合题吗？

　　它是真命题吗？如果是请证明。

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　　一、教学时间

　　20xx年12月10日

　　二、教学班级

　　初二（6）班

　　三、教学目的

　　1、给学生复习线段垂直平分线的定义和作法。

　　2、给学生复习点与点之间的距离，是指线段的长而不是线段。

　　3、教会学生线段垂直平分线的定理和逆定理的推导方法。

　　4、让学生充分理解线段垂直平分线的定理和逆定理并能熟练背诵。

　　5、通过多种练习，让学生学会熟练运用线段垂直平分线的定理和逆定理。

　　6、让学生明确线段垂直平分线的联系与区别。

　　过程与方法（流程图）

　　（１）提出问题

　　（２）讨论问题

　　（３）解决问题

　　情感态度价值观

　　１、通过对旧知识的回顾和运用，让学生明白，平时应经常复习和巩固旧知识，做到温故而知新。

　　２、在学生得出结论的同时让学生证明，可以让他们明白任何结论都必须有科学依据，又激发了学生的求知欲和探究欲。

　　３、让学生自己用语言来描述定理和逆定理时，检验了他们的语言表达能力，使他们明白学科之间是相通的。

　　４、在整个学习过程中，学生会深刻体会团体合作的重要性和竞争的快乐。

　　四、教学过程

　　（一）画线段AB，画AB的垂直平分线MN，MN上任意取一点P，连结PA、PB，则PA、PB的长是点P和AB两个端点A点和B点的距离。

　　教师提问：PA、PB在长度上有怎样的关系？怎样证明？

　　学生回答：PA=PB

　　已知：MN是AB的垂直平分线

　　求证：PA=PB

　　证明：∵MN是AB的垂直平分线（已知）

　　∴∠PCA=∠PCB=90？

　　AC=BC（垂直平分线的定义）

　　在△PCA和△PCB中

　　AC=BC（已证）

　　∠PCA=∠PCB（已证）

　　PC=PC（公共边）

　　∴△PCA≌△PCB（S。A。S）

　　∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）

　　定理：

　　线段垂直平分线上的.点和这条线段两个端点的距离相等。

　　∵MN是AB的垂直平分线

　　∴PA=PB

　　（二）画线段AB和点Q，连结QA、QB，使QA=QB。

　　教师提问：点Q在怎样的一条线上？

　　学生回答：AB的垂直平分线上

　　已知：QA=QB

　　求证：Q在AB的垂直平分线上

　　证明：

　　过Q作直线MN⊥AB

　　垂足为C

　　∵QA=QB（已知）

　　∴AC=BC（等腰三角形的三线合一）

　　∴MN是AB的垂直平分线（垂直平分线的定义）

　　∴Q在AB的垂直平分线上

　　逆定理：

　　和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

　　∵QA=QB

　　∴Q在AB的垂直平分线上

　　（三）试一试

　　1、如图，在△ABC中，∠C=90？，ＭＮ是ＡＢ的中垂线。

　　（1）如果MB=10cm，那么MA=_______。

　　（2）如果∠A=35？，那么∠1=

　　（3）如果△MCB的周长为30cm，那么AC+BC=_______。

　　2、如图，△ABC中，∠C=90？，D为AB的中点，D在线段_________的垂直平分线上。

　　（四）例1。已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC。

　　求证：点O在BC的垂直平分线上。

　　证明：连结BO

　　∵ON是AB的垂直平分线（已知）

　　∴OA=OB（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等）

　　∵OA=OC（已知）

　　∴OB=OC（等量代换）

　　∴点O在BC的垂直平分线上（和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的线段的垂直平分线上）

　　（五）练习

　　1、作图

　　（1）在直线MN上找出一点P，使PA=PB。

　　（2）找一点P，使它到A｀B｀C三点的距离相等。

　　∴点Ｐ就是所要求作的点。

　　２、已知：如图，Ｄ是ＢＣ延长线上的一点，ＢＤ＝ＢＣ＋ＡＣ

　　求证：点Ｃ在ＡＤ的垂直平分线上。

　　３、已知：∠Ｃ＝９０？，ＡＢ的垂直平分线分别交ＡＣ｀ＡＢ于Ｍ｀Ｎ，ＡＭ＝２ＣＭ。

　　求证：∠Ａ＝３０

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　　教学目标：

　　1、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。知道为什么这样做图，提高熟练地使用直尺和圆规作图的技能。

　　2、通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。

　　教学重点：

　　作已知线段的垂直平分线。

　　教学难点：

　　理解三线共点的证明方法。

　　教学过程：

　　引入：

　　剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么？当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的结论？

　　定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

　　证明：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，连接AP、BP、CP，

　　∵点P在线段AB的垂直平分线上

　　∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）

　　同理：PB=PC

　　∴PA=PC

　　∴点P在AC的垂直平分线上

　　（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。

　　∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P。

　　议一议：

　　1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的'三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等）

　　2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。

　　做一做：

　　已知底边上的高，求作等腰三角形。

　　已知：线段a、b

　　求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h

　　线段的垂直平分线学案教学设计 6

　　一、教材分析

　　线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课是在学生学习了轴对称图形的基础上进一步研究线段这个特殊的轴对称图形。通过探究活动让学生学会线段的垂直平分线的尺规作图和它的性质应用。线段垂直平分线的性质，在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明，方便计算。在本课的学习中，应注重联系线段的垂直平分线性质，结合求周长的相关计算问题提高学生综合运用能力，实现“数学来源于生活，应用于生活”的课标理念。

　　二、学情分析

　　由于本课的难点是线段垂直平分线的尺规作图和应用性质“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”来解决有关周长问题。因此，需注重对性质进行细致的分析，使同学们能正确理解这个性质，能根据性质定理的条件准确地找出相等线段，通过周长表示利用等量代换转化为已知条件，从而提高解决问题的能力。

　　三、教学目标

　　探索掌握线段的垂直平分线的尺规作图。

　　探索证明线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，并能准确利用等量代换把求周长的未知问题转化为已知问题，提高学生解决问题的能力。

　　揭示数学与现实生活的联系，从而激发学生学习数学的积极性。

　　四、教学重点、难点

　　教学的重点是线段的垂直平分线尺规作图和“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”这条性质的理解及其应用。

　　难点是学会把生活问题转化为数学问题，并能利用线段的垂直平分线性质通过等量代换解决有关周长计算问题。

　　五、教学过程：

　　（一）温故知新

　　观察ppt1 （有关昆虫的图片）加深学生对轴对称图形的理解，并能准确找出他们的对称轴。

　　（ppt2展示）提出问题1：当我们感知一个图形是轴对称图形时，如果不折叠是否能做出它的对称轴？引导学生利用轴对称图形性质“作出一对对称点连线的垂直平分线”即为它的对称轴。从而引出问题2：如何用尺规作已知线段的垂直平分线？

　　（二）新授

　　1、讲解线段垂直平分线的尺规作图步骤。（ppt3展示）

　　做法：（1）分别以点A和B为圆心，以大于　长为半径作弧，两弧交于点C和D。（2）作直线CD。则直线CD就是线段AB的垂直平分线。

　　2、线段垂直平分线性质探究（ppt5展示）

　　在图5—14中，l是线段AB的垂直平分线，P是l上任意一点，试着量一量PA与PB的长度，你能发现什么？

　　学生活动：小组讨论经历猜测、度量验证、得出结论的探究过程，激发学生学习数学的兴趣。

　　证明“不论P点在直线l上怎样移动，总有PA=PB。”（师生共同完成）

　　得出线段垂直平分线性质（ppt6展示）：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。教师并引导学生书写逻辑推理过程：

　　3、例题讲解（ppt7、ppt8展示）

　　例1、有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。（要求：尺规作图）

　　教师活动：引导学生抓住问题的关键语句“学校到三个村庄的距离相等”，使学生知道作三村庄所在线段的垂直平分线，交点即为学校位置的道理，使学生学会把生活问题转化为数学问题的能力得到锻炼，落实情感价值目标。利用动画展示做题过程，激发学生学习兴趣。

　　例2　已知：如图，AB=AC=8cm ，DE是AB边的中垂线交AC于点E，BC=6cm，求BEC的.周长。

　　教师活动：教师分析题中关键语句； “DE是AB边的中垂线”提出问题 “（1）利用线段中垂线性质能得到什么结论？（2）求BEC的周长我们应该先干什么？从而得出此类题型的结题规律“利用线段垂直平分线性质找相等线段；表示周长为三边和并进行等量代换”把未知问题转化为已知条件解决问题。

　　师生共同完成证明过程：

　　DE是AB边的中垂线（已知）

　　∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）

　　AC=AE+EC=8cm（已知）

　　∴AC=BE+EC=8cm （等量代换）

　　又 CBEC=BE+EC+BC ，BC=6cm

　　∴CBEC=BE+EC+6 =8+6=14cm

　　教师用动画效果展示书写过程，教会学生应用数学符号语言书写过程的本领和几何逻辑思维能力的培养，从而达到能力目标的实现。

　　（三）链接中考（ppt9、ppt10展示）

　　1、如图，在ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）。

　　A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm

　　2、在 ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5，ABC的周长是30，求 ABD的周长。

　　B D C

　　学生活动：让学生应用本节所学知识进行当堂检测，了解学生知识掌握情况。

　　教师活动：教师引导学生根据问题中关键语句，结合本节所学知识点进行思路点拨，提问学生，最后利用动画展示答案。

　　（四）课堂小结：（ppt11展示）

　　本课我们学习了线段的垂直平分线的尺规作图和性质，通过学习我们知道要找一点到两点的距离相等，只需把两点连城线段做该线段的垂直平分线；在有关周长问题时首先根据线段垂直平分线的性质找到相等线段，在表示周长利用等量代换把未知问题转化为已知问题。

　　（五）作业布置（ppt12展示）

　　如下图ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， BCE的周长26cm，求BC的长。

　　六、教学反思：

　　线段垂直平分线在几何作图、证明、计算中有着十分重要的作用。线段的垂直平分线的性质定理是推证线段相等的重要途经。

　　在设计教案时，我结合教材内容，对如何导入新课，引出定理以及证明进行了探索。在导入新课这一环节上我先让学生观察昆虫找它们的对称轴，引导学生不折叠如何作对称轴？教会学生作线段垂直平分线的尺规作图步骤，进一步通过做一条线段AB的垂直平分线MN，在MN上取一点P，让学生量出PA、PB的长度，引导学生观察、讨论每个人量得的这两个长度之间有什么关系：得到什么结论？学生回答：PA=PB。然后再让学生取一点试一试，这两个长度也相等，由此引导学生猜想到线段垂直平分线的性质定理。在这一过程中让学生主动积极的参与到教学中来，使学生通过作图、观察、量一量再得出结论。从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程。在教学时，引导学生分析性质定理的条件和结论教学生学会几何符号语言的书写。再通过一道生活问题让学生理解数学与实际的联系，通过分析找关键语句，得出作线段垂直平分线，这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程，只有学生动脑思考了，才能真正理解线段垂直平分线的性质定理。在此基础上进一步设计相关周长问题，再次引导学生若已知条件中给出线段的垂直平分线，我们可以得到相等线段，求周长问题可归纳为

　　（1）周长表示为三边的和

　　（2）利用等量代换转化为已知条件解决问题的基本解题步骤使学生学会分析问题。这样可以帮助学生认识理论来源于实践又服务于实践的道理，也能提高他们学习的积极性，加深对所学知识的理解。

　　线段的垂直平分线学案教学设计 7

　　教材分析

　　线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课是进一步理解线段垂直平分线的性质，学会线段的垂直平分线的做法，会做轴对称图形的对称轴。

　　线段的垂直平分线的性质，在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明，方便计算。

　　在本课的学习中，应注重联系线段的垂直平分线性质，提高综合运用知识的能力。

　　学情分析

　　由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系，因此，需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析，使同学们能正确理解这两个定理的关系，能根据命题的条件准确地选择定理、选择方法，从而提高解决问题的能力。

　　教学目标

　　①探索掌握线段的垂直平分线性质及它们的应用。

　　②正确理解两条性质的关系，准确选择定理与方法，提高解决问题的能力。

　　③揭示数学与现实生活中实际问题的联系，从而激发学生学习数学的积极性。

　　教学重点

　　线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。

　　教学难点

　　灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。

　　教学准备：课件、多媒体设备、三角板、圆规

　　课时安排：

　　1课时

　　教法与学法：授课法、讨论法

　　教学过程：

　　一、问题导入

　　我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴。那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它。

　　二、探究新知

　　（一）线段的垂直平分线的性质

　　教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？

　　如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？

　　学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

　　性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB。

　　教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB。教师要求学生自己写已知，求证，自己证明。

　　学生证明完后教师板书证明过程供学生对照。

　　已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点。求证：PA＝PB。

　　证明：在△APC和△BPC中，

　　∵PC＝PC（公共边），∠PCB＝∠PCA（垂直定义），AC＝BC（已知），

　　∴△APC≌△BPC（SAS）。

　　∴PA＝PB（全等三角形的对应边相等）。

　　因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

　　（二）线段的垂直平分线的判定

　　你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出。鼓励学生找出原命题的条件和结论。

　　原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”。

　　此时，逆命题就很容易写出来。“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。”

　　写出逆命题后，就想到判断它的真假。如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明。请同学们自行在练习册上完成。

　　学生给出了如下的四种证法。

　　已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB。

　　求证：P点在AB的垂直平分线上。

　　证法一　过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）。∴AC＝BC，即P点在AB的'垂直平分线上。

　　证法二　取AB的中点C，过P，C作直线。∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC（SSS）。

　　∴∠PCA＝∠PCB（全等三角形的对应角相等）。

　　又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上。

　　证法三　过P点作∠APB的平分线。

　　∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC（SAS）。

　　∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB（全等三角形的对应边相等，对应角相等）。

　　又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上。

　　从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定。

　　要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线。

　　下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据。

　　例1　尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。

　　已知：直线AB和AB外一点C。（如下图）

　　求作：AB的垂线，使它经过点C。

　　作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁。

　　（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E。

　　（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F。

　　（4）作直线CF。

　　直线CF就是所求作的垂线。

　　师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？请与同伴进行交流。

　　生：从作法的第（2）（3）步可知CD＝CE，DF＝EF，

　　∴C，F都在AB的垂直平分线上（线段的垂直平分线的判定）。

　　∴CF就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）。

　　师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点。

　　三、课堂练习

　　教材第62页练习第1，2题。

　　四、课堂小结

　　本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线。

　　五、布置作业

　　1。教材习题13.1第6题。

　　2。补充题：

　　（1）下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO＝BO，为什么？

　　（2）如左下图，△ABC中，AC＝16 cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26 cm。求BC的长。

　　（3）有A，B，C三个村庄（如右上图），现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。

　　板书设计

　　线段的垂直平分线的性质与判定

　　性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

　　用符号语言表示为：∵ PC垂直平分AB（CA=CB，PC ⊥AB）， ∴ PA=PB

　　判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

　　用符号语言表示为：∵PA=PB ∴ P在线段AB的垂直平分线上

　　作图：

　　教学反思：

　　本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线。在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等。

　　线段的垂直平分线学案教学设计 8

　　一、教学目标

　　【知识与技能】

　　掌握线段的垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的尺规作图方法。

　　【过程与方法】

　　在线段的垂直平分线性质的探究过程中，提升发现问题、分析问题、解决问题的能力。

　　【情感态度价值观】

　　体会利眉负涡灾式饩黾负挝侍獾睦秩ぃ岣哐笆У男巳ぃ嵘笆У淖孕判模形蚴в肷畹氖导柿怠

　　二、教学重难点

　　【教学重点】

　　线段的垂直平分线的性质。

　　【教学难点】

　　线段的垂直平分线的性质及其证明。

　　三、教学过程

　　（一）引入新课

　　提出问题：如何画出轴对称图形的对称轴？

　　（二）探索新知

　　学生活动：观察课本13.1.6的线段的'垂直平分线的图像。

　　教师总结尺规作图的步骤并板书。

　　提问4：已知两个图形成轴对称，如何找出对称轴？

　　只要找出轴对称图形上任意对应的两点，作出其连线的垂直平分线，该垂直平分线即为对称轴，并发现对称轴所在的直线就是垂直平分线。

　　（三）课堂练习

　　例1：对称轴与垂直平分线相同么？

　　例2：如何画出一个轴对称图形的对称轴？

　　（四）小结作业

　　提问：今天有什么收获？

　　引导学生回顾：线段的垂直平分线的性质及利用垂直平分线的性质作出一条直线的垂直平分线。

　　课后作业：

　　角是不是对称轴图形，如果是，它的对称轴是什么？

　　四、板书设计

　　线段的垂直平分线学案教学设计 9

　　教学目标：

　　1．要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题。

　　2．能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。

　　3．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。

　　教学重点：

　　线段垂直平分线性质定理及其逆定理。

　　教学难点：

　　线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。

　　教学过程：

　　我们曾利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离睛等，你能证明这一结论吗？

　　一、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

　　1．让学生把准备好的`方方正正的纸拿出来，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和E’B、FB和F’B的关系。

　　2．让学生说出他们观察猜测的结果是什么，肯定他们的发现，引导学生思考：这样一个结论是比较直观和明显的，我们可以说出两组边分别是相等的，但是，我们可以用观察说服别人吗?

　　3．给学生留出时间和空间思考如何把猜想变成事实。学生可以讨论交流不同的方法。提示学生在证明之前，要把文字语言变成数学语言，根据图形写出已知和求证。

　　定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

　　已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。

　　求证：PA=PB。

　　证明：∵MN⊥AB，

　　∴∠PCA=∠PCB=90°

　　∵AC=BC，PC=PC

　　∴△PCA≌△PCB（SAS）

　　∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）

　　想一想，你能写出上面这个定理的逆合题吗？

　　它是真命题吗？如果是请证明。

　　线段的垂直平分线学案教学设计 10

　　教学目标：

　　知识与技能：使学生理解线段垂直平分线的定义，掌握求线段垂直平分线的方法，并能熟练地在平面几何图中绘制线段的垂直平分线。

　　过程与方法：通过课堂讲解、例题分析和实践操作，培养学生的几何直观能力和逻辑推理能力，使学生能够运用垂直平分线的性质解决实际问题。

　　情感态度与价值观：激发学生对几何学习的兴趣，培养学生的探索精神和合作意识，让学生在解决问题的过程中体验成功的喜悦。

　　教学重点与难点：

　　教学重点：线段垂直平分线的定义及性质，求线段垂直平分线的方法。

　　教学难点：运用垂直平分线的性质解决实际问题，特别是涉及到距离相等的问题。

　　教学准备：

　　多媒体课件

　　几何画板软件

　　黑板及粉笔

　　学生用几何作图工具（直尺、圆规等）

　　教学过程：

　　一、导入新课

　　复习旧知：简要回顾线段、中点等基本概念，以及直线的性质。

　　情境引入：通过生活中的实例（如村庄到河流两岸的距离相等），引出线段垂直平分线的概念，激发学生的学习兴趣。

　　二、讲授新知

　　定义讲解：

　　定义线段垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

　　强调垂直平分线的两个关键要素：经过中点、垂直于线段。

　　性质探讨：

　　性质一：线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

　　性质二：到线段两端点距离相等的点在线段的.垂直平分线上。

　　通过多媒体展示图形，结合性质进行直观解释，并引导学生理解记忆。

　　作图方法：

　　方法一：利用直尺和圆规作图。先找到线段的中点，然后以中点为圆心，线段的一半为半径画圆，连接线段两端点与圆上任意一点（除中点外），得到的直线即为线段的垂直平分线。

　　方法二：利用几何画板软件演示作图过程，使学生更加直观地理解。

　　三、例题分析

　　例题一：已知线段AB，求作AB的垂直平分线。

　　分析：按照上述作图方法一进行演示，强调步骤和细节。

　　例题二：在三角形ABC中，点P是边BC的垂直平分线上的点，证明PA=PB。

　　分析：利用垂直平分线的性质进行证明，引导学生写出完整的证明过程。

　　四、实践操作

　　分组活动：学生分组，每组发放几何作图工具，要求学生根据给定的线段，独立或合作完成垂直平分线的作图。

　　展示交流：各组展示作图成果，分享作图经验和遇到的问题，教师给予点评和指导。

　　五、课堂总结

　　回顾知识点：总结线段垂直平分线的定义、性质和作图方法。

　　强调重点：强调垂直平分线在解决实际问题中的应用，特别是涉及到距离相等的问题。

　　布置作业：

　　书面作业：完成课后习题，巩固所学知识。

　　实践作业：利用几何作图工具，设计并绘制包含线段垂直平分线的几何图形。

　　六、板书设计

　　标题：线段的垂直平分线

　　定义：经过线段中点且垂直于线段的直线

　　性质：

　　性质一：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等

　　性质二：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上

　　作图方法：

　　方法一：直尺圆规作图

　　方法二：几何画板演示

　　教学反思：

　　本节课通过生活实例引入，激发了学生的学习兴趣。在讲授新知环节，注重定义和性质的讲解，并结合多媒体和实物演示，使学生对线段垂直平分线有了深刻的理解。在实践操作环节，学生通过动手作图，进一步巩固了所学知识。但在教学过程中，也发现部分学生在运用垂直平分线性质解决实际问题时存在困难，需要在后续教学中加强练习和指导。

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