求数列中几种类型的通项公式总结

2024-10-14

求数列中几种类型的通项公式总结

　　一、由递推关系求通项公式

　　（1）递推式为 = + 及 = （为常数）（可利用等差、等比数列来求）

　　例、⒈ 已知数列{ }满足 = +2，且 =1，求 .

　　⒉ 已知数列{ }满足 = ，且 =2，求 .

　　（2）递推式为 = + ，（需可求和）

　　例、已知数列{ }满足 = + ， =1，求 .

　　练习已知数列{ }中， = ，且当时，求通项公式

　　(3) 递推式为 = + （为常数）

　　例、已知数列{ }满足 =3 +2，且 =1，求 .

　　简解：法一、由已知得 =3 +2， =3 +2，相减得 - =3（ - ）即数列

　　{ - }是 =3的等比数列，所以 - =（ - ）且 - =4，又 =3 +2，

　　代入可得 =2 -1

　　法二、由法一得{ - }是 =3的等比数列，则 - =4， - = 4 3， - = 4 ，…， - = 4 .以上n-1式累加得 - = 4（1+3+ + +…+ ）= ，所以可得 =2 -1

　　法三、由递推式 =3 + 2，得 + 1=3（ +1）即数列{ + 1}是公比为3的等比数列，且首项为 +1=2，所以 +1=2 ，即 =2 -1

　　练习已知数列{ }满足 =2 -1，且 =2，求 .

　　（4）递推式为 = + （为常数）

　　例已知数列{ }满足 = + ，且 = ，求 .

　　(提示：两边同时除以转化为类型二来求)

　　练习已知数列{ }满足 =2 + ，且 =1，求 .

　　（5）递推式为 =

　　例在数列{ }中， =2， = ，求 .

　　练习已知： =1，，求 .

　　（6）递推式为 = (可先求倒数，转化成数列{ }来求)

　　例已知数列{ }满足 =1，，求 .

　　（7）其他例已知数列{ }满足： =1，，（）令。① 求证：数列{ }是等比数列，并求；②求 .

　　二、已知之间的关系来求通项公式

　　利用公式 (n 2)，注意首项.

　　例已知数列{ }满足 = +1，求 .

　　练习已知数列{ }的前n项和为，满足，其中＞1，求数列{ }的通项公式。

　　三、已知和的关系求数列的通项公式

　　常用思路 1. 消，转化为的关系，再求（优先考虑）；

　　2. 消，转化为的关系，先求，再求。

　　利用公式 (n 2)，注意首项.

　　例已知数列{ }的前n项和为，若对任意的，都有 =2 -3 .

　　① 求数列{ }的首项及递推关系式 = ；②求通项公式。

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