线性代数知识点总结

2022-01-12 总结

　　线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间，线性变换和有限维的线性方程组。下面是小编想跟大家分享的线性代数知识点总结，欢迎大家浏览。

　　线性代数知识点总结篇1

　　第一章行列式

　　知识点1：行列式、逆序数

　　知识点2：余子式、代数余子式

　　知识点3：行列式的性质

　　知识点4：行列式按一行（列）展开公式

　　知识点5：计算行列式的方法

　　知识点6：克拉默法则

　　第二章矩阵

　　知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律

　　知识点8：矩阵的乘法运算及运算律

　　知识点9：计算方阵的幂

　　知识点10：转置矩阵及运算律

　　知识点11：伴随矩阵及其性质

　　知识点12：逆矩阵及运算律

　　知识点13：矩阵可逆的判断

　　知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算

　　知识点15：矩阵方程的求解

　　知识点16：初等变换的概念及其应用

　　知识点17：初等方阵的概念

　　知识点18：初等变换与初等方阵的关系

　　知识点19：等价矩阵的概念与判断

　　知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式

　　知识点21：矩阵的秩的概念与判断

　　知识点22：矩阵的秩的性质与定理

　　知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算

　　知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例

　　第三章向量

　　知识点25：向量的概念及运算

　　知识点26：向量的线性组合与线性表示

　　知识点27：向量组之间的线性表示及等价

　　知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念

　　知识点29：线性表示与线性相关性的关系

　　知识点30：线性相关性的判别法

　　知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念

　　知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系

　　知识点33：求向量组的最大无关组

　　知识点34：有关向量组的定理的综合运用

　　知识点35：内积的概念及性质

　　知识点36：正交向量组、正交阵及其性质

　　知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法

　　知识点38：向量空间（数一）

　　知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）

　　知识点40：基变换下的坐标变换（数一）

　　第四章线性方程组

　　知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构

　　知识点42：非齐次方程组解的性质及结构

　　知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形

　　知识点44：用初等行变换求解线性方程组

　　知识点45：线性方程组的公共解、同解

　　知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系

　　知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例

　　第五章矩阵的特征值与特征向量

　　知识点48：特征值与特征向量的概念与性质

　　知识点49：特征值和特征向量的求解

　　知识点50：相似矩阵的概念及性质

　　知识点51：矩阵的相似对角化

　　知识点52：实对称矩阵的相似对角化.

　　知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂

　　第六章二次型

　　知识点54：二次型及其矩阵表示

　　知识点55：矩阵的合同

　　知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系

　　知识点57：二次型的标准形

　　知识点58：用正交变换化二次型为标准形

　　知识点59：用配方法化二次型为标准形

　　知识点60：正定二次型的概念及判断

　　线性代数知识点总结篇2

　　行列式

　　一、行列式概念和性质

　　1、逆序数：所有的逆序的总数

　　2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和

　　3、行列式性质：（用于化简行列式）

　　（1）行列互换（转置），行列式的值不变

　　（2）两行（列）互换，行列式变号

　　（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

　　（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

　　（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

　　（6）两行成比例，行列式的值为0。

　　二、重要行列式

　　1、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

　　2、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

　　3、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

　　4、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

　　★5、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

　　三、按行（列）展开

　　1、按行展开定理：

　　（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

　　（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0

　　四、克莱姆法则

　　1、克莱姆法则：

　　（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

　　（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0

　　（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

　　矩阵

　　一、矩阵的运算

　　1、矩阵乘法注意事项：

　　（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

　　（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

　　（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

　　二、矩阵的逆运算

　　1、逆的求法：

　　（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解

　　（2）A为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（E|A-1）

　　三、矩阵的初等变换

　　1、初等行（列）变换定义：

　　（1）两行（列）互换；

　　（2）一行（列）乘非零常数c

　　（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

　　★四、矩阵的秩

　　1、秩的定义：非零子式的最高阶数

　　注：

　　（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O

　　（2）r（An×n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

　　（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

　　2、秩的求法：

　　（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；

　　（2）A为数字矩阵：A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数

　　五、伴随矩阵

　　六、分块矩阵

　　1、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。

　　2、分块矩阵求逆：

　　向量

　　一、向量的概念及运算

　　1、长度定义：||α||=

　　二、线性组合和线性表示

　　1、线性表示的充要条件：

　　非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示

　　(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

　　★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）

　　2、线性表示的充分条件：

　　若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。

　　3、线性表示的求法：（大题第二步）

　　设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。

　　（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）

　　行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0

　　三、线性相关和线性无关

　　1、线性相关注意事项：

　　（1）α线性相关←→α=0

　　（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例

　　2、线性相关的充要条件：

　　向量组α1，α2，…，αs线性相关

　　（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；

　　（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

　　★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于个数

　　3、线性相关的充分条件：

　　（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关

　　（4）以少表多，多必相关

　　★推论：n+1个n维向量一定线性相关

　　4、线性无关的充要条件：

　　向量组α1，α2，…，αs线性无关

　　（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；

　　（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

　　（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s

　　特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关

　　←→r（α1，α2，…，αn）=n ←→|α1，α2，…，αn |≠0 ←→矩阵可逆

　　5、线性无关的充分条件：

　　（1）整体无关，部分无关

　　（2）低维无关，高维无关

　　（3）正交的非零向量组线性无关

　　（4）不同特征值的特征向量无关

　　6、线性相关、线性无关判定

　　（1）定义法

　　★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关

　　四、极大线性无关组与向量组的秩

　　1、极大线性无关组不唯一

　　2、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩

　　对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数

　　★注:

　　向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

　　★3、极大线性无关组的求法

　　（1）α1，α2，…，αs为抽象的：定义法

　　（2）α1，α2，…，αs为数字的：（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵

　　则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组

　　五、Schmidt正交化

　　1、Schmidt正交化

　　设α1，α2，α3线性无关

　　（1）正交化

　　令β1=α1

　　（2）单位化

　　线性方程组

　　一、解的判定与性质

　　1、齐次方程组：

　　（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）

　　（2）有非零解←→r（A）＜n

　　2、非齐次方程组：

　　（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

　　（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

　　（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n

　　3、解的性质：

　　（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

　　（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解

　　（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解

　　二、基础解系

　　★1、重要结论：（证明也很重要）

　　设A是m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O

　　（1）B的列向量均为方程Ax=0的解

　　（2）r（A）+r（B）≤n

　　2、总结：基础解系的求法

　　（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解

　　（2）A为数字的：A→初等行变换→阶梯型

　　自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系

　　三、解的结构（通解）

　　1、齐次线性方程组的通解（所有解）

　　设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，

　　则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）

　　2、非齐次线性方程组的通解

　　设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，

　　则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）

　　特征值与特征向量

　　一、矩阵的特征值与特征向量

　　1、特征值、特征向量的定义：

　　设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

　　2、特征多项式、特征方程的定义：

　　|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的`n次多项式）。

　　|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。

　　注:特征方程可以写为|A-λE|=0

　　3、重要结论：

　　（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量

　　（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。

　　（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

　　△4、总结：特征值与特征向量的求法

　　（1）A为抽象的：由定义或性质凑

　　（2）A为数字的：由特征方程法求解

　　5、特征方程法：

　　（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn

　　注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)

　　（2）解齐次方程（λiE-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λiE-A）个解）

　　二、相似矩阵

　　1、相似矩阵的定义：

　　设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B

　　2、相似矩阵的性质

　　（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似

　　（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似

　　（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）

　　三、矩阵的相似对角化

　　1、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=

　　称A可相似对角化。

　　2、相似对角化的充要条件

　　（1）A有n个线性无关的特征向量

　　（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量

　　3、相似对角化的充分条件：

　　（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）

　　（2）A为实对称矩阵

　　4、重要结论：

　　（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数

　　（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数

　　四、实对称矩阵

　　1、性质

　　（1）特征值全为实数

　　（2）不同特征值的特征向量正交

　　（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ

　　（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

　　二次型

　　一、二次型及其标准形

　　1、二次型：

　　（1）一般形式

　　（2）矩阵形式（常用）

　　2、标准形：

　　如果二次型只含平方项，这样的二次型称为标准形（对角线）

　　3、二次型化为标准形的方法：

　　（1）配方法：

　　★（2）正交变换法：

　　二、惯性定理及规范形

　　1、定义：

　　正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；

　　负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；

　　2、惯性定理：

　　二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

　　注：

　　（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

　　（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）

　　三、合同矩阵

　　1、定义：

　　A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同

　　△2、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系

　　（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

　　（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数

　　（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）

　　注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价

　　四、正定二次型与正定矩阵

　　1、正定的定义

　　二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

　　2、n元二次型xTAx正定充要条件：

　　（1）A的正惯性指数为n

　　（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E

　　（3）A的特征值均大于0

　　（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）

　　3、总结：二次型正定判定（大题）

　　（1）A为数字：顺序主子式均大于0

　　（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：AT=A；②再由定义或特征值判定

　　4、重要结论：

　　（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

　　（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定

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