高中数学竞赛第三章函数练习题

2021-06-14 试题

　　第三章函数

　　一、基础知识

　　例2 求函数f(x)= 的最大值。

　　五、联赛一试水平训练题

　　1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________.

　　2．若a>0，a 1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x) 是________（奇偶性）.

　　3．若 =x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= ；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.

　　4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,∈R，都有f(x+1)=f(x)f()-f()-x+2，则f(x)=________.

　　5．已知f(x)是定义在R上的`函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= ________.

　　6. 函数f(x)= 的单调递增区间是________.

　　7. 函数f(x)= 的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。

　　8. 函数=x+ 的值域为________.

　　9．设f(x)= ,

　　对任意的a∈R，记V(a)=ax{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-in{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，试求V(a)的最小值。

　　10．解方程组：（在实数范围内）

　　11．设∈N+, f: N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+, 有f[f(n)]=n，求证：对任意n∈N+, 都有 n≤f(n)≤

　　六、联赛二试水平训练题

　　1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0, f(x)=xf ；（2）对所有的x≠-且x≠0，有f(x)+f()=1+f(x+).

　　2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0, f(x)f =1，试求f(1).

　　3. f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x, , x+∈[0, 1]时，f(x)+f()≤f(x+)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx.

　　4. 试求f(x,)=6(x2+2)(x+)-4(x2+x+2)-3(x+)+5(x>0, >0)的最小值。

　　5．对给定的正数p,q∈(0, 1)，有p+q>1≥p2+q2，试求f(x)=(1-x) + 在[1-q,p]上的最大值。

　　6．已知f: (0,1)→R且f(x)= .

　　当x∈ 时，试求f(x)的最大值。

　　7．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)= ，求f(100)的值。

　　8．函数=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：方程f(x)=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。

　　9．设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f: Q+→Q+，满足这样的条件：f(xf())= x, ∈Q+.

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