函数综合试题练习

2021-03-19 试题

　　函数综合试题

　　一：选择题

　　1．已知，则则A等于（）

　　A．15 B． C． D．225

　　2．若0＜a＜1，且函数，则下列各式中成立的是（）

　　A． B．

　　C． D．

　　3．已知则的值等于( )

　　A．0 B． C． D．9

　　4．若，则（）

　　A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c

　　5．已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：① 0<a<b<1；② 0<b<a<1； ③a=b；④ 1<a<b；⑤l<b<a．其中不可能成立的关系式有（）

　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

　　6．若0＜a＜1，且函数，则下列各式中成立的是（）

　　A． B．

　　C． D．

　　7．已知：的不等实根一共有（）

　　A、1个 B、2 个 C、3 个 D、4个

　　8．在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数．例如：．设函数，则函数的值域为（）

　　A. B. C. D.

　　9．曲线在原点处的切线方程为

　　A.B.C.D.

　　10.设函数有（）

　　A．分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内的三个根

　　B.四个实根

　　C.分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）内的四个根

　　D.分别位于区间（0，1）（1，2），（2，3），内的三个根

　　11．函数的导数是（）

　　A． B. C. D.

　　12．与定积分相等的是（）

　　A． B.C. -D. +

　　二：填空题

　　13．由曲线所围成的图形面积是 .

　　14．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为_________km，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2006km，那么在时，汽车里程表读数与时间的函数解析式为__________。

　　15. 函数f(x)=x3－3x2＋6x－7的图象是中心对称图形, 其对称中心的坐标为_________ 。

　　16．给出下列四个命题：

　　①函数（且）与函数（且）的定义域相同；

　　②函数与的值域相同；

　　③函数与都是奇函数；

　　④函数与在区间[0，＋）上都是增函数。

　　其中正确命题的序号是_____________。（把你认为正确的命题序号都填上）

　　三：解答题

　　17．（12分）设f (x)＝lg(ax2－2x＋a),

　　(1) 如果f (x)的定义域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围；

　　(2) 如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围。

　　18．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米。

　　（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

　　（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

　　19.（12分）设, 点P是函数的图象的一个公共点, 两函数的图象在点P处有相同的切线.

　　(1) 用表示a, b, c;

　　(2) 若函数在上单调递减，求的取值范围.

　　20．（12分）设函数, 其中,是的导函数.

　　(1)若,求函数的解析式;

　　(2)若,函数的两个极值点为满足. 设, 试求实数的取值范围.

　　21．（14分）已知函数，，且有极值．

　　（1）求实数的取值范围；

　　（2）求函数的值域；

　　（3）函数，证明：，，使得成立．

　　22．（12分）设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

　　（1）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）≤f（x2），则（x*，1）为含峰区间；

　　（2）对给定的r（0＜r＜0.5＝，证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r；

　　（3）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

　　函数综合参考答案

　　一：选择题BDCB，BDDB，DAAC

　　二：填空题13．e－2 14．220； 15．(1,－3) 16．①③

　　三：解答题

　　17．解：(1) ∵f (x)的定义域是(－∞, ＋∞),

　　∴ 当x∈(－∞, ＋∞)时,都有ax2－2x＋a>0, 即满足条件a>0, 且△<0, 4－4a2<0, a="">1.（6分）

　　(2) ∵f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，即当x在定义域内取值时，可以使y∈(－∞, ＋∞).

　　要求ax2－2x＋a可以取到大于零的一切值，∴a>0且△≥0 (4－4a≥0)或a＝0,

　　解得0≤a≤1.……12分

　　18．解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

　　要耗没（升）。……5分

　　答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。……6分

　　（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，

　　依题意得…………8分

　　令得

　　当时，是减函数；

　　当时，是增函数。

　　当时，取到极小值

　　因为在上只有一个极值，所以它是最小值。………………………………11分

　　答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。（12分）

　　19．解: (1) 因为函数, 的图象都过点, 所以,

　　即.因为所以.………………3分

　　又因为, 在点处有相同的切线, 所以

　　而……………………………………………5分

　　将代入上式得因此故,,………………6分

　　(2) 解法一: .……8

　　当时, 函数单调递减.

　　由, 若; 若

　　由题意, 函数在上单调递减, 则

　　所以

　　又当时, 函数在上单调递减.

　　所以的取值范围为……………………………………………………12

　　解法二：

　　因为函数在上单调递减, 且是

　　上的`抛物线, 所以即解得

　　所以的取值范围为………………………………………………………12分

　　20．解: ………………………………………………1分

　　(Ⅰ)据题意,…………………………………2分

　　由知,是二次函数图象的对称轴

　　又, 故是方程的两根..............4分

　　设,将代入得

　　比较系数得:

　　故为所求.………………………………6分

　　(其它解法酌情记分)

　　另解：，…………………….1分

　　据题意得 ………3分解得 …………………5分

　　故为所求.………………………………6分

　　(Ⅱ)据题意,,则

　　又是方程的两根,且

　　则………………………………………8分

　　则点的可行区域如图………………10分

　　的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值

　　故的取值范围是…………………………………………………………12分

　　21．解：（Ⅰ）由求导可得

　　………………………………………………………………………………1分

　　令……………………………………………………………… 2分

　　可得 ∵ ∴ ∴

　　又因为

　　单调递增

　　极大值

　　单调递减

　　所以，有极值 …………………………………… ……………………………………3分

　　所以，实数的取值范围为．……………………………………………………4分

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的极大值为………………………………5分

　　又∵ ，…………………………………………………………6分

　　由，解得

　　又∵

　　∴当时，函数的值域为………………… 7分

　　当时，函数的值域为． …………………………8分

　　（Ⅲ）证明：由求导可得

　　令，解得

　　令，解得或……………………………… 10分

　　又∵

　　∴在上为单调递增函数……………………………………………………12分

　　∴在的值域为∵ ，，

　　∴，，使得成立． …………………………14分

　　22（1）证明：设x*为f（x）的峰点，则由单峰函数定义可知，f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减．

　　当f（x1）≥f（x2）时，假设x*（0，x2），则x1<x2f（x1），这与f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰区间.

　　当f（x1）≤f（x2）时，假设x*（ x2，1），则x*<≤x1f（x2），

　　这与f（x1）≤f（x2）矛盾，所以x*∈（x1，1），即（x1，1）是含峰区间.……4分

　　（2）证明：由（I）的结论可知：

　　当f（x1）≥f（x2）时，含峰区间的长度为l1＝x2；当f（x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1－x1；

　　对于上述两种情况，由题意得

　　由①得1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.

　　又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r， ②

　　将②代入①得x1≤0.5－r， x2≥0.5－r， ③

　　由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r．

　　所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．…………………………………………8分

　　（3）解：对先选择的x1；x2，x1<x2，由（II）可知x1＋x2＝l， ④

　　在第一次确定的含峰区间为（0， x2）的情况下，x3的取值应满足x3＋x1＝x2， ⑤

　　由④与⑤可得，当x1>x3时，含峰区间的长度为x1．

　　由条件x1－x3≥0.02，得x1－（1－2x1）≥0.02，从而x1≥0.34．

　　因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．…12分

　　抽屉原理与电脑算命

　　“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日和性别，一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”。

　　其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。

　　抽屉原理又称鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法。举个最简单的例子，把3个苹果按任意的方式放入两个抽屉中，那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果。这是因为如果每一个抽屉里最多放有一个苹果高中历史，那么两个抽屉里最多只放有两个苹果。运用同样的推理可以得到：

　　原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

　　原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。

　　如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为“抽屉”数。我国现有人口11亿，我们把它作为“物体”数。由于1.1×=21526×51100+21400，根据原理2，存在21526个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！

　　在我国古代，早就有人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字之谬。如清代陈其元在《庸闲斋笔记》中就写道：“余最不信星命推步之说，以为一时（注：指一个时辰，合两小时）生一人，一日生十二人，以岁计之则有四千三百二十人，以一甲子（注：指六十年）计之，止有二十五万九千二百人而已，今只以一大郡计，其户口之数已不下数十万人（如咸丰十年杭州府一城八十万人），则举天下之大，自王公大人以至小民，何啻亿万万人，则生时同者必不少矣。其间王公大人始生之时，必有庶民同时而生者，又何贵贱贫富之不同也？”在这里，一年按360日计算，一日又分为十二个时辰，得到的抽屉数为60×360×12＝259200。

　　所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即根据出生的年月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命运的句子。这种在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的勾当，是对科学的亵渎。

　　名师指导：女生如何学好数学

　　【摘要】您好，这里是高中数学学习栏目，数学是培养逻辑思维能力，分析能力的重要学科，所以小编在此为您编辑了此文：“名师指导：女生如何学好数学”以方便您的学习，希望能给您带来帮助。

　　本文题目：名师指导：女生如何学好数学

　　女生数学不好的快来看了哦

　　一、“弃重求轻”，培养兴趣

　　女生数学能力的下降，环境因素及心理因素不容忽视。目前社会、家庭、学校对学生的期望值普遍过高。而女生性格较为文静、内向，心理承受能力较差，加上数学学科难度大，因此导致她们的数学学习兴趣淡化，能力下降。因此，教师要多关心女生的思想和学习，经常同她们平等交谈，了解其思想上、学习上存在的问题，帮助其分析原因，制定学习计划，清除紧张心理，鼓励她们“敢问”、“会问”，激发其学习兴趣。同时，要求家长能以积极态度对待女生的数学学习，要多鼓励少指责，帮助她们弃掉沉重的思想包袱，轻松愉快地投入到数学学习中;还可以结合女性成才的事例和现实生活中的实例，帮助她们树立学好数学的信心。事实上，女生的情感平稳度比较高，只要她们感兴趣，就会克服困难，努力达到提高数学能力的目的。

　　二、“开门造车”，注重方法

　　在学习方法方面，女生比较注重基础，学习较扎实，喜欢做基础题，但解综合题的能力较差，更不愿解难题;女生上课记笔记，复习时喜欢看课本和笔记，但忽视上课听讲和能力训练;女生注重条理化和规范化，按部就班，但适应性和创新意识较差。因此，教师要指导女生“开门造车”，让她们暴露学习中的问题，有针对地指导听课，强化双基训练，对综合能力要求较高的问题，指导她们学会利用等价转换、类比、化归等数学思想，将问题转化为若干基础问题，还可以组织她们学习他人成功的经验，改进学习方法，逐步提高能力。

　　高三数学每轮复习要领

　　一、高三数学复习，大体可分四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。

　　1．第一阶段，即第一轮复习，也称“知识篇”，大致就是高三第一学期。在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。所以大家在复习过程中应做到： ①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。（建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材） ②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。 ③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。能提炼解题所用知识点，并说出其出处。 ④经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。

　　2．第二轮复习，通常称为“方法篇”。大约从第二学期开学到四月中旬结束。在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论”等方法解决一类问题、一系列问题。同学们应做到： ①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。 ②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。 ③从现在开始，解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家务必将解题过程写得层次分明，结构完整。 ④适当选做各地模拟试卷和以往高考题，逐渐弄清高考考查的范围和重点。

　　3．第三轮复习，大约一个月的时间，也称为“策略篇”。老师主要讲述“选择题的解发、填空题的解法、应用题的解法、探究性命题的解法、综合题的解法、创新性题的解法”，教给同学们一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高同学们的解题速度和应对策略为目的。同学们应做到： ①解题时，会从多种方法中选择最省时、最省事的方法，力求多方位，多角度的思考问题，逐渐适应高考对“减缩思维”的要求。 ②注意自己的解题速度，审题要慢，思维要全，下笔要准，答题要快。 ③养成在解题过程中分析命题者的意图的习惯，思考命题者是怎样将考查的知识点有机的结合起来的，有那些思想方法被复合在其中，对命题者想要考我什么，我应该会什么，做到心知肚明。

　　4．最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向，并做到： ①检索自己的知识系统，紧抓薄弱点，并针对性地做专门的训练和突击措施（可请老师专门为你拎一拎）；锁定重中之重，掌握最重要的知识到炉火纯青的地步。 ②抓思维易错点，注重典型题型。 ③浏览自己以前做过的习题、试卷，回忆自己学习相关知识的历程，做好“再”纠错工作。 ④博览群书，博闻强记，使自己见多识广，注意那些背景新、方法新，知识具有代表性的问题。 ⑤不做难题、偏题、怪题，保持情绪稳定，充满信心，准备应考。

　　二、高三数学复习中的几个注意点

　　1．复习资料要精，不可超过两套，使用过程中，始终注重其系统性。千万不要贪多，资料多了，不但使自己身陷题海，不能自拔，而且会因为你的顾此失彼，而使知识体系得不到延续。

　　2．有的同学漠视自己作业和考试中出现的错误，将他们简单的归结为粗心大意。这是很严重的错误想法，我们的错误都有其必然性，一定要究根问底，找出真正的原因，及时改正，并记住这样的教训。

　　3．千万不要以为“高考以能力立意”，就是要去钻难题、偏题、怪题。这里的能力是指：思维能力，对现实生活的观察分析力，创造性的想象能力，探究性实验动手能力，理解运用实际问题的能力，分析和解决问题的探究创新能力，处理、运用信息的能力，新材料、新情景、新问题应变理解能力，其重点是概念观点形成和规律的认识过程，它往往蕴藏在最简单、最基础的题目活事实之中。不是钻牛角尖能钻出来的能力。

　　4．合理看待来自老师和社会各界的猜题、压题信息，不可迷信。因为，他们也不是神，我们上了考场只能凭自己的实力，凭自己的智慧去打拼，所以，我们应该踏踏实实、认认真真做好复习应考工作。

　　多边形内角和公式

　　设多边形的边数为N

　　则其内角和＝（N－2）*180&deg 高中历史;

　　因为N个顶点的N个外角和N个内角的和

　　＝N*180°

　　（每个顶点的一个外角和相邻的内角互补）

　　所以N边形的外角和

　　＝N*180°－（N－2）*180°

　　＝N*180°－N*180°＋360°

　　＝360°

　　即N边形的外角和等于360°

　　设多边形的边数为N

　　则其外角和＝360°

　　因为N个顶点的N个外角和N个内角的和

　　＝N*180°

　　（每个顶点的一个外角和相邻的内角互补）

　　所以N边形的内角和

　　＝N*180°－360°

　　＝N*180°－2*180°

　　＝（N－2）*180°

　　即N边形的内角和等于（N－2）*180°

　　怎样理解“合并同类项”

　　俗话说“物以类聚”。意思是说，同一种类型的东西可以聚集在一起。当然，不同类型的东西，就不能随意聚集。比如，收拾房间，书放在书架上，衣服放进衣橱，碗盘放在碗橱，...。不能把碗朝衣橱里放，衣服堆到书架上，...。到动物园参观，老虎与老虎关在一个笼子里，熊猫与熊猫关在另一个笼子里。不能把熊猫与老虎关在一起，否则熊猫要被老虎吃光了。这就是“物以类聚”。

　　在数学里，也常用到这种同类相聚的思想。

　　以名数为例，3元和2元的单位都是元，可以加，等于5元。3元8角和2元3角也可以加，但要注意元只能跟元加，角只能跟角加，元不能跟角加，答案应该是6元l角。不同名数，如果可以化为相同名数，必须化相同以后再加；如果不能化成同名数，就不能加。例如，3千克和6元表示不同的量，这两个单位无论如何也不能化为相同，所以下能相加。

　　整数加减法法则，为什么要强调“数位对齐”？因为数位对齐以后，同数位上的数字的单位相同，可以相加减。同样，小数加减法强调“小数点对齐”，因为一旦小数点对齐了，整数部分和分数部分的数位也都对齐了，于是便可以相加减。

　　再看看分数的加减法。同分母的分数单位相同，可以直接相加减；异分母的分数单位不同，不能直接相加减，必须先通分。通分的实质就是把不同单位的分数化成相同单位的分数。分数单位相同，才能相加减。

　　现在，我们看看合并同类项的问题，这是代数式加减法的基础。与能相加，单位可以看成是。可以理解为3个，可以理解为5个，合并起来应该是8个，即

　　同理，6ab减去4ab，可以把单位看成是ab,6个ab减去4个ab，得2个ab，即

　　6ab－4ab=2ab。

　　所以，对多项式的加减法而言，同类项才能合并，不是同类项不能合并。总而言之，物以类聚，在进行代数加减法时，要注意“同类”这个特点。

　　高一数学学习：数学学习应注意的六个方面五

　　为了帮助学生们更好地学习高中数学，精心为大家搜集整理了“高一数学学习：数学学习应注意的六个方面五”，希望对大家的数学学习有所帮助!

　　高一数学学习：数学学习应注意的六个方面五

　　6.要有毅力、要有恒心：基本上要有一个认识：数学能力乃是长期努力累积的结果，而不是一朝一夕之功所能达到的。您可能花一天或一个晚上的功夫把某课文背得滚瓜烂熟，第二天考背诵时对答如流而获高分，也有可能花了一两个礼拜的时间拼命学数学，但到头来数学可能还考不好，这时候您可不能气馁，也不必为花掉的时间惋惜，因为种什么“因”必能得什么“果”，只要继续努力，持之有恒，最后必能证明您的努力没有白费!

　　经过精心的整理，有关“高一数学学习：数学学习应注意的六个方面五”的内容已经呈现给大家，祝大家学习愉快!

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