职高均值定理课件

2017-08-08 课件

  均值定理又叫基本不等式,是高中数学学习中的一个非常重要的知识点,在日后的函数求最值问题中有十分频繁的应用。以下是小编整理的职高均值定理课件,欢迎阅读。

  复习目标

  1.掌握均值定理.

  2.会用均值定理求最值和证明不等式.

  3.会解不等式的应用题.

  知识回顾

  均值定理及重要不等式:

  一.均值定理:

  ,其中当且仅当时取等号;

  注:注意运用均值不等式求最值时的条件:

  (1);(2)与的积是一个定值(正数);(3)当且仅当时取等号.

  记忆时可记为一“正”、二“定”、三“等”.

  二、重要不等式

  (1);

  (2), 其中当且仅当时取等号.

  三.例题精解

  【例1】 (1)如果,则的最大值是 ;

  (2)如果,则的最小值是 .

  分析:两题显然都可以用均值定理求解.

  解:(1)

  当且仅当时,有最大值4.

  (2)

  当且仅当时,取最小值6.

  【点评】(1)若,且(常数),则;

  (2)若,且(常数),则.

  【例2】 当时,求的最大值.

  分析:由于为定值,且依题意有,故可用均值定理,求最值.

  解:∵,∴

  当且仅当, 即时,取最大值8.

  【例3】当时,求函数的最小值.

  分析: ,由于为定值,且依题知,故可用均值定理求最值.

  解:∵,∴

  当且仅当,即时,取最小值3.

  【例4】求函数的最小值,下列解法是否正确?为什么?

  解法一:

  ∴

  解法二:,当,即时,

  ∴

  答:以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”,即不存在使得;解二错在不是定值(常数).

  正确的解法是:

  当且仅当,即时,

  【点评】(1)用求最值时需要同时满足如下三个条件:

  ①;

  ②为常数;

  ③“=”可取.

  (2)注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等” .

  (3)利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数.通常要通过添加常数、拆项(常常是拆低次的式子)等方式进行构造.

  【例5】若正数满足,求的最小值.

  解:∵ ,

  当且仅当,即时,取最小值.

  【例6】将一块边长为的正方形铁皮,剪去四个角(四个全等的正方形),做成一个无盖的铁盒,要使其容积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?

  解:设剪去的小正方形的边长为

  则其容积为

  当且仅当即时,

  所以当剪去的小正方形的边长为时,铁盒的容积最大为.

  同步训练

  1.为非零实数,那么不等式恒成立的是( )

  A. B. C. D.

  2.设则下列不等式成立的是( )

  A. B. C. D.

  3.如果>0,则≥ .

  4.如果,则的最大值是 .

  5.如果,则的最小值是 .

  6.如果,则的最小值是 .

  7.已知,函数的最小值是 .

  8.已知,函数的最大值是 .

  9.已知,函数的最大值是 .

  10.已知,函数的最小值是 .

  11.若,,,则的最大值是 .

  12.当时,求的.最小值, 并求此时的取值.

  13.已知,求的最小值, 并求此时的取值.

  14.已知:,求的最大值,并求此时的取值.

  15.当时,求的最小值.

  16.用铁皮做圆柱形的密封式罐头瓶,要求它的体积为定值V,问怎样设计底面圆的半径和它的高,才能使用料最省.

  17.制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖),问圆柱底半径和高各取多少时,用料最省?(不计加工时的损耗及接缝用料)


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