公式法的教案

2021-01-27 教案

  教学内容

  1、一元二次方程求根公式的推导过程;

  2、公式法的概念;

  3、利用公式法解一元二次方程、

  教学目标

  理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程、

  复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程、

  重难点关键

  1、重点:求根公式的推导和公式法的应用、

  2、难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导、

  教学过程

  一、复习引入

  (学生活动)用配方法解下列方程

  (1)6x2—7x+1=0 (2)4x2—3x=52

  (老师点评) (1)移项,得:6x2—7x=—1

  二次项系数化为1,得:x2— x=—

  配方,得:x2— x+( )2=— +( )2

  (x— )2=

  x— =± x1= + = =1

  x2=— + = =

  (2)略

  总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评)、

  (1)移项;

  (2)化二次项系数为1;

  (3)方程两边都加上一次项系数的一半的`平方;

  (4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;

  (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解、

  二、探索新知

  如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题、

  问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2—4ac≥0,试推导它的两个根x1= ,x2=

  分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去、

  解:移项,得:ax2+bx=—c

  二次项系数化为1,得x2+ x=—

  配方,得:x2+ x+( )2=— +( )2 即(x+ )2=

  ∵b2—4ac≥0且4a2>0 ∴ ≥0

  直接开平方,得:x+ =± 即x=

  ∴x1= ,x2=

  由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:

  (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b—4ac≥0时,将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根、

  (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式、

  (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法、

  (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根、

  例1、用公式法解下列方程、

  (1)2x2—4x—1=0 (2)5x+2=3x2 (3)(x—2)(3x—5)=0 (4)4x2—3x+1=0

  分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可、

  解:(1)a=2,b=—4,c=—1

  b2—4ac=(—4)2—4×2×(—1)=24>0

  x= ∴x1= ,x2=

  (2)将方程化为一般形式3x2—5x—2=0

  a=3,b=—5,c=—2

  b2—4ac=(—5)2—4×3×(—2)=49>0

  x= x1=2,x2=—

  (3)将方程化为一般形式3x2—11x+9=0

  a=3,b=—11,c=9

  b2—4ac=(—11)2—4×3×9=13>0

  ∴x= ∴x1= ,x2=

  (3)a=4,b=—3,c=1

  b2—4ac=(—3)2—4×4×1=—7<0

  因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根、

  三、巩固练习

  教材P42 练习1、(1)、(3)、(5)

  四、应用拓展

  例2、某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1) +(m—2)x—1=0提出了下列问题、

  (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程、

  (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出、

  你能解决这个问题吗?

  分析:能、(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0、

  (2)要使它为一元一次方程,必须满足:

  ① 或② 或③

  解:(1)存在、根据题意,得:m2+1=2

  m2=1 m=±1

  当m=1时,m+1=1+1=2≠0

  当m=—1时,m+1=—1+1=0(不合题意,舍去)

  ∴当m=1时,方程为2x2—1—x=0

  a=2,b=—1,c=—1

  b2—4ac=(—1)2—4×2×(—1)=1+8=9

  x= x1=,x2=—

  因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=— 、

  (2)存在、根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0

  因为当m=0时,(m+1)+(m—2)=2m—1=—1≠0

  所以m=0满足题意、

  ②当m2+1=0,m不存在、

  ③当m+1=0,即m=—1时,m—2=—3≠0

  所以m=—1也满足题意、

  当m=0时,一元一次方程是x—2x—1=0,

  解得:x=—1

  当m=—1时,一元一次方程是—3x—1=0

  解得x=—

  因此,当m=0或—1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=—1;当m=—1时,其一元一次方程的根为x=— 、

  五、归纳小结

  本节课应掌握:

  (1)求根公式的概念及其推导过程;

  (2)公式法的概念;

  (3)应用公式法解一元二次方程;

  (4)初步了解一元二次方程根的情况、

  六、布置作业

  1、教材P45 复习巩固4、

  文章来

  公式法教案文章来 2、选用作业设计:

  一、选择题

  1、用公式法解方程4x2—12x=3,得到( )、

  A、x= B、x= C、x= D、x=

  2、方程 x2+4 x+6 =0的根是( )、

  A、x1= ,x2= B、x1=6,x2= C、x1=2 ,x2= D、x1=x2=—

  3、(m2—n2)(m2—n2—2)—8=0,则m2—n2的值是( )、

  A、4 B、—2 C、4或—2 D、—4或2

  二、填空题

  1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________、

  2、当x=______时,代数式x2—8x+12的值是—4、

  3、若关于x的一元二次方程(m—1)x2+x+m2+2m—3=0有一根为0,则m的值是_____、

  三、综合提高题

  1、用公式法解关于x的方程:x2—2ax—b2+a2=0、

  2、设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,(1)试推导x1+x2=— ,x1·x2= ;(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值、

  3、某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费、

  (1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(用A表示)

  (2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

  月份 用电量(千瓦时) 交电费总金额(元)

  3 80 25

  4 45 10

  根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?

  答案:

  一、1、D 2、D 3、C

  二、1、x= ,b2—4ac≥0 2、4 3、—3

  三、1、x= =a±│b│

  2、(1)∵x1、x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,

  ∴x1= ,x2=

  ∴x1+x2= =— ,

  x1·x2= · =

  (2)∵x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,∴ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0

  原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2

  =x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c)=0

  3、(1)超过部分电费=(90—A)· =— A2+ A

  (2)依题意,得:(80—A)· =15,A1=30(舍去),A2=50

  课后教学反思:_______________________________________________________________

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