函数的最值教案设计

2021-07-03 教案

　　目的：

　　（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；

　　（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

　　重点：

　　函数的最大（小）值及其几何意义．

　　教学难点：

　　利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

　　教学过程：

　　一、引入课题

　　画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

　　○1说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

　　○2指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

　　（1）（2）

　　（3）（4）

　　二、新课教学

　　（一）函数最大（小）值定义

　　1．最大值

　　一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

　　（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

　　（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

　　那么，称M是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue）．

　　思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（MinimumValue）的定义．（学生活动）

　　注意：

　　○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；

　　○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

　　2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

　　○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

　　○2利用图象求函数的最大（小）值

　　○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值[来源:Z#xx#k.Com]

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[ b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x= b处有最小值f(b)；

　　（二）典型例题

　　例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

　　解：（略）

　　说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

　　巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

　　例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

　　房价（元）住房率（%）

　　16055

　　14065

　　12075

　　10085

　　欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

　　解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

　　设为旅馆一天的客房总收入，为与房价 160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得15．

　　由于 ≤1，可知0≤ ≤90．

　　因此问题转化为：当0≤ ≤90时，求的最大值的问题．

　　将的两边同除以一个常数0.75，得 1=－ 2＋50 ＋17600．

　　由于二次函数 1在 =25时取得最大值，可知也在 =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．

　　所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

　　例3．（教材P37例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

　　解：（略）

　　注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的`方法与格式．

　　巩固练习：（教材P38练习4）

　　三、归纳小结，强化思想

　　函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

　　取值→作差→变形→定号→下结论

　　四、作业布置

　　1．书面作业：课本P45习题1．3（A组）第6、7、8题．

　　提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45km/h和15km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？

　　指数概念的扩充

　　3.2.1指数概念的扩充

　　【自学目标】

　　1.掌握正整数指数幂的概念和性质；

　　2.理解n次方根和n次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根；

　　3.能熟练运用n次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。

　　【知识要点】

　　1．方根的概念

　　若，则称x是a的平方根；若，则称x是a的立方根。

　　一般地，若一个实数x满足，则称x为a的n次实数方根。

　　当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数n次实数方根是一个负数，这时a的n的次实数方根只有一个，记作；

　　当n是偶数时，正数的n次实数方根有二个，它们是相反数。这时a的正的n次实数方根用符号。

　　注意：0的n次实数方根等于0。

　　2．根式的概念

　　式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。

　　求a的n次实数方根的运算叫做开方运算。

　　3．方根的性质

　　（1）；

　　（2）当n是奇数时，，当n是偶数时，

　　【预习自测】

　　例1．试根据n次方根的定义分别写出下列各数的n次方根。

　　⑴25的平方根； ⑵ 27的三次方根；

　　⑶－32的五次方根； ⑷ 的三次方根．

　　例2．求下列各式的值：

　　例3．化简下列各式：

　　例4．化简下列各式：

　　【堂练习】

　　1．填空：

　　⑴0的七次方根；⑵ 的四次方根。

　　2．化简：

　　3．计算：

　　【归纳反思】

　　1．在化简时，不仅要注意n是奇数还是偶数，还要注意a的正负；

　　2．配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想。

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