圆的比例线段教案设计

2021-07-03 教案

　　教学建议

　　1、教材分析

　　(1)知识结构

　　(2)重点、难点分析

　　重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.

　　难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.

　　2、教学建议

　　本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.

　　(1)教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情;

　　(2)在教学中，引导学生观察猜想证明应用等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.

　　第1课时：相交弦定理

　　教学目标：

　　1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算;

　　2.学会作两条已知线段的比例中项;

　　3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神;

　　4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.

　　教学重点：

　　正确理解相交弦定理及其推论.

　　教学难点：

　　在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.

　　教学活动设计

　　(一)设置学习情境

　　1、图形变换：(利用电脑使AB与CD弦变动)

　　①引导学生观察图形，发现规律：D，B.

　　②进一步得出：△APC∽△DPB.

　　③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?

　　组织学生观察，并回答.

　　2、证明：

　　已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P.

　　求证：PAPB=PCPD.

　　(A层学生要训练学生写出已知、求证、证明;B、C层学生在老师引导下完成)

　　(证明略)

　　(二)定理及推论

　　1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

　　结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中;弦AB，CD相交于点P，那么PAPB=PCPD.

　　2、从一般到特殊，发现结论.

　　对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且ABCD于P.

　　提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?

　　指出：PC2=PAPB.

　　请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.

　　推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.

　　3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2=PAPB.

　　若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：

　　PC2=PAAC2=APCB2=BPAB

　　(三)应用、反思

　　例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.

　　引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.

　　例2 已知：线段a，b.

　　求作：线段c，使c2=ab.

　　分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.

　　作法：口述作法.

　　反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.

　　练习1 如图，AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP=1厘米，求CD.

　　变式练习：若AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP，DP的长度皆为整数.那么CD的长度是多少?

　　将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣

　　练习2 如图，CD是⊙O的直径，ABCD，垂足为P，AP=4厘米，PD=2厘米.求PO的长.

　　练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OPPC，PC 交⊙O于C. 求证：PC2=PAPB

　　引导学生分析：由APPB，联想到相交弦定理，于是想到延长 CP交⊙O于D，于是有PCPD=PAPB.又根据条件OPPC.易证得PC=PD问题得证.

　　(四)小结

　　知识：相交弦定理及其推论;

　　能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;

　　思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.

　　(五)作业

　　教材P132中 9，10;P134中B组4(1).

　　第2课时切割线定理

　　教学目标：

　　1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明;

　　2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

　　3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.

　　教学重点：

　　理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.

　　教学难点：

　　定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.

　　教学活动设计

　　(一)提出问题

　　1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系?(如图1)

　　当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系?

　　2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PAPB.

　　3、证明：

　　让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想.

　　分析：要证PT2=PAPB，可以证明，为此可证以 PAPT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB.(图3).容易证明PTA=B又P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证.

　　4、引导学生用语言表达上述结论.

　　切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

　　(二)切割线定理的推论

　　1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?

　　观察图4，提出猜想：PAPB=PCPD.

　　2、组织学生用多种方法证明：

　　方法一：要证PAPB=PCPD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明PAC=D，P，因此△PAC∽△PDB. (如图4)

　　方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的'三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB.容易证明D，又P. 因此△PAD∽△PCB.(如图5)

　　方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现.PT2=PAPB，同时PT2=PCPD，于是可以得出PAPB=PCPD.PAPB=PCPD

　　推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)

　　(三)初步应用

　　例1 已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半径.

　　分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.

　　(解略)教师示范解题.

　　例2 已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC=BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，

　　求证：AE=BF.

　　分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC=BD，AD=BC. 因此它们的积相等，问题得证.

　　学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2=ACCD和BF2=BDDC等.

　　巩固练习：P128练习1、2题

　　(四)小结

　　知识：切割线定理及推论;

　　能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式;

　　方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.

　　(五)作业教材P132中，11、12题.

　　探究活动

　　最佳射门位置

　　国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).

　　分析与解如图1所示.AB是足球门，点P是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即OP是圆的切线，而OB是圆的割线.

　　故，又，

　　OB=30.34+7.32=37.66.

　　OP=(米).

　　注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△BOP可为任意角

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